terça-feira, 11 de janeiro de 2011

MATRIZES E CRIPTOGRAFIA






Uma forma bastante interessante de ensinar matrizes inversas e multiplicação de matrizes é utilizando a criptografia.  Vamos utilizar um método bastante simples que envolve matrizes inversas. Sejam A e B ,tal que B é a matriz inversa de A.

Logo podemos verificar que AB=BA=1.
A criptografia  é o estudo dos princípios e técnicas pelas quais a informação pode ser transformada da sua forma original para outra ilegível, de forma que possa ser conhecida apenas por seu destinatário. Vamos utilizar essas duas matrizes como ‘chaves’ para codificar e decodificar a mensagem. O rementente vai usar a matriz A para codificar a mensagem e o destinatário vai usar a matriz B para decodificar a mensagem.
Para codificar uma mensagem o primeiro passo é convertê-la da forma alfabetica para uma forma numérica. Então vamos utilizar a tabela abaixo:


A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

U
V
W
X
Y
Z
.
!
#

21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

O remetente e o destinatário devem conhecer essa tabela alfa-numérica e também pode fazê-la usando outras correspondências entre números e letras. Vamos codificar a seguinte mensagem: EU ACREDITO NA EDUCAÇÃO. Vamos fazer a correspondência entre as letras e os números usando a tabela dada.

                  

Usamos o símbolo # entre as palavras para não causarmos confusão.
Como temos a matriz decodificadora A de ordem 2 , (2x2), vamos colocar a sequência de números dispostos em uma matriz de duas linhas.  Se o numero de elemtos da mensagem for impar,  podemos acrescentar um caracter vazio. não vai alterar a mensagem. No caso o numero 30.



Para codificar a mensagem , multiplicamos a matriz A por M , tal que N =A.M




Assim;




Os elementos de N , constituem a mensagem codificada
29, 64, 116, 8, 13, 75, 18, 13, 30, 61, 60, 114, 24, 43, 87, 7 , 10, 57, 13, 9, 21, 41, 45, 85.

quando a mensagem codificada chegar ao destinatário, ele usará a matriz B decodificadora para ler a mensagem. Sabendo que B.N= B.A.M = I.M. M, temos.
Multiplicamos a matriz B por N.






Finalmente, temos a matriz M=BN do remetente que é a mensagem original.
Agora é só reverter os números utilizando novamente a tabela alfa-numérica.




Note que na mensagem inicial revertida em números tem varias repetições de números , enquanto que a mensagem codificada não repetem números , tornado-a mais difícil de ser desvendada. O que precisa ser escondido são apenas as matrizes A e B.


10 comentários:

  1. Olá, gostaria de saber se pode me recomendar um livro (pode ser didático) que fale desse assunto, pra um trabalho da faculdade.

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  2. JASIHDSAIRHADMZ\HDJSAHDS eeeeeee o/ \o\/o/ \o/ ¬¬o
    /\ /\

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  3. Achei ótima essa ideia....vou usar na próxima
    ...muito obrigado!!!

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  4. Gostei da dica.
    Usarei em minhas aulas.
    Abraços.

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  5. Incrível, muito obrigado, ajudou muito!! :)

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