MATRIZES E CRIPTOGRAFIA

Uma forma bastante interessante de ensinar matrizes inversas e multiplicação de matrizes é utilizando a criptografia.  Vamos utilizar um método bastante simples que envolve matrizes inversas. Sejam A e B ,tal que B é a matriz inversa de A.

Logo podemos verificar que AB=BA=1.

A criptografia  é o estudo dos princípios e técnicas pelas quais a informação pode ser transformada da sua forma original para outra ilegível, de forma que possa ser conhecida apenas por seu destinatário. Vamos utilizar essas duas matrizes como ‘chaves’ para codificar e decodificar a mensagem. O rementente vai usar a matriz A para codificar a mensagem e o destinatário vai usar a matriz B para decodificar a mensagem.

Para codificar uma mensagem o primeiro passo é convertê-la da forma alfabetica para uma forma numérica. Então vamos utilizar a tabela abaixo:

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

U	V	W	X	Y	Z	.	!	#
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30

O remetente e o destinatário devem conhecer essa tabela alfa-numérica e também pode fazê-la usando outras correspondências entre números e letras. Vamos codificar a seguinte mensagem: EU ACREDITO NA EDUCAÇÃO. Vamos fazer a correspondência entre as letras e os números usando a tabela dada.

                  

Usamos o símbolo # entre as palavras para não causarmos confusão.

Como temos a matriz decodificadora A de ordem 2 , (2x2), vamos colocar a sequência de números dispostos em uma matriz de duas linhas.  Se o numero de elemtos da mensagem for impar,  podemos acrescentar um caracter vazio. não vai alterar a mensagem. No caso o numero 30.

Para codificar a mensagem , multiplicamos a matriz A por M , tal que N =A.M

Assim;

Os elementos de N , constituem a mensagem codificada

29, 64, 116, 8, 13, 75, 18, 13, 30, 61, 60, 114, 24, 43, 87, 7 , 10, 57, 13, 9, 21, 41, 45, 85.

quando a mensagem codificada chegar ao destinatário, ele usará a matriz B decodificadora para ler a mensagem. Sabendo que B.N= B.A.M = I.M. M, temos.

Multiplicamos a matriz B por N.

Finalmente, temos a matriz M=BN do remetente que é a mensagem original.

Agora é só reverter os números utilizando novamente a tabela alfa-numérica.

Note que na mensagem inicial revertida em números tem varias repetições de números , enquanto que a mensagem codificada não repetem números , tornado-a mais difícil de ser desvendada. O que precisa ser escondido são apenas as matrizes A e B.